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Kurz gesagt: Ein logisches Gatter verarbeitet binäre Eingänge und erzeugt daraus einen binären Ausgang. Eine Wahrheitstabelle listet dafür jede mögliche Eingangskombination und das jeweilige Ergebnis auf. Zusammen bilden Gatter und Wahrheitstabellen die Grundlage digitaler Schaltungen, von einfachen Steuerungen bis zu Prozessoren.
Die wichtigsten Gatter sind NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR und XNOR. Dieser Leitfaden erklärt ihre Funktionen, zeigt vollständige Wahrheitstabellen und führt von Booleschen Ausdrücken über Schaltungsdiagramme bis zur praktischen Simulation.
Grundlagen: Was bedeuten 0 und 1?
In der Booleschen Logik stehen 0 und 1 meist für falsch und wahr oder für LOW und HIGH. Eine Boolesche Variable kann nur diese beiden Werte annehmen:
A ∈ {0, 1}In realer Elektronik sind 0 und 1 jedoch keine weltweit festen Spannungen. Die tatsächlichen HIGH- und LOW-Bereiche hängen unter anderem von Logikfamilie, Versorgungsspannung und Bauteil ab. Eine Wahrheitstabelle beschreibt daher die logische Funktion, nicht automatisch Spannungspegel, Strom, Signalqualität oder Laufzeit.
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Wichtige Begriffe und Schreibweisen
- Eingang: ein Signal wie
AoderB, das ein Gatter verarbeitet. - Ausgang: das Ergebnis, häufig mit
Ybezeichnet. - Boolescher Ausdruck: eine Formel, die eine logische Funktion beschreibt.
| Funktion | Schreibweise | Alternative |
|---|---|---|
| AND | A ∧ B |
A · B, AB |
| OR | A ∨ B |
A + B |
| NOT | ¬A |
Ā, A', !A |
| NAND | ¬(A ∧ B) |
(A · B)' |
| NOR | ¬(A ∨ B) |
(A + B)' |
| XOR | A ⊕ B |
A XOR B |
| XNOR | ¬(A ⊕ B) |
A ↔ B |
Das Pluszeichen für OR und der Punkt für AND sind dabei logische Operatoren, keine gewöhnliche Addition oder Multiplikation.
Die sieben grundlegenden logischen Gatter
Infineon führt NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR und XNOR als zentrale logische Gatter auf (Infineon).
NOT: Negation oder Inverter
Ein NOT-Gatter hat einen Eingang und kehrt dessen Wert um:
Y = ¬A| A | Y = ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
NOT bedeutet nicht „kein Signal“, sondern die logische Invertierung eines definierten Signals.
AND: UND
AND liefert nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind.
Y = A ∧ B| A | B | Y = A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Beispiel: Eine Maschine startet nur, wenn die Schutzabdeckung geschlossen und der Startknopf gedrückt ist.
OR: Inklusives ODER
OR liefert 1, sobald mindestens ein Eingang 1 ist.
Y = A ∨ B| A | B | Y = A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Das logische OR ist normalerweise inklusiv: Auch wenn beide Eingänge 1 sind, bleibt der Ausgang 1.
Rank #2
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NAND: NICHT-UND
NAND ist ein AND-Gatter mit invertiertem Ausgang:
Y = ¬(A ∧ B)| A | B | A ∧ B | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Der Ausgang ist nur dann 0, wenn alle Eingänge 1 sind. Ein kleiner Kreis am Ausgang eines Schaltsymbols kennzeichnet häufig diese Negation.
NOR: NICHT-ODER
NOR ist ein OR-Gatter mit invertiertem Ausgang:
Y = ¬(A ∨ B)| A | B | A ∨ B | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
NOR liefert nur dann 1, wenn alle Eingänge 0 sind.
XOR: Exklusives ODER
XOR liefert bei zwei Eingängen nur dann 1, wenn genau einer der Eingänge 1 ist.
Y = A ⊕ B| A | B | OR | XOR |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
XOR wird unter anderem in Addierern, Paritätsprüfungen und Bitvergleichen verwendet. Bei mehreren Eingängen beschreibt eine verkettete XOR-Funktion üblicherweise eine ungerade Anzahl von Einsen, nicht einfach „genau eine“.
XNOR: Äquivalenz
XNOR ist die negierte XOR-Funktion und liefert 1, wenn die Eingänge gleich sind.
Y = ¬(A ⊕ B)| A | B | Y = A XNOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
XNOR wird deshalb auch als Gleichheits- oder Äquivalenzgatter bezeichnet.
Buffer und Tri-State-Buffer
Ein Buffer verändert den logischen Wert nicht:
Y = A| A | Y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
Elektrisch kann ein Buffer trotzdem zur Signalverstärkung oder Entkopplung wichtig sein.
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Ein Tri-State-Buffer kann zusätzlich den hochohmigen Zustand Z ausgeben. Für ein aktiv-high Enable-Signal E gilt:
The Tool Desk
Outbyte PC Repair FREEClear out junk files and repair common Windows errorsFree Scan →Outbyte Driver Updater FREEScan for outdated or missing drivers - takes under a minuteDriver Scan →| E | A | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | Z |
| 0 | 1 | Z |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Z bedeutet hochohmig und ist nicht dasselbe wie logisch 0 oder ein unbekannter Zustand X. Tri-State-Ausgänge werden häufig für gemeinsam genutzte Busse verwendet.
Alle Gatter im Überblick
| Gatter | Ausgang ist 1, wenn … |
|---|---|
| NOT | der Eingang 0 ist |
| AND | alle Eingänge 1 sind |
| OR | mindestens ein Eingang 1 ist |
| NAND | nicht alle Eingänge 1 sind |
| NOR | alle Eingänge 0 sind |
| XOR | bei zwei Eingängen genau einer 1 ist |
| XNOR | die Eingänge gleich sind |
| Buffer | der Eingang 1 ist |
Eine Wahrheitstabelle erstellen
1. Eingänge zählen
Bei n binären Eingängen gibt es 2ⁿ Kombinationen:
| Eingänge | Kombinationen |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
2. Eingangskombinationen binär zählen
Für drei Eingänge lautet die vollständige Reihenfolge:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. Zwischenspalten anlegen
Für den Ausdruck Y = (A ∧ B) ∨ ¬C werden zunächst die Teilergebnisse berechnet:
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| A | B | C | A ∧ B | ¬C | Y |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Eine sichere Reihenfolge ist: Klammern, NOT, AND, OR. In Programmiersprachen und Hardwarebeschreibungssprachen können Operatorrangfolgen abweichen; Klammern vermeiden Missverständnisse.
Vom Ausdruck zur Wahrheitstabelle
Beispiel:
Y = A ∨ (B ∧ C)Zuerst wird B ∧ C berechnet, danach das OR mit A. Die Ausdrücke A ∨ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∧ C sind nicht gleich. Klammern können die gesamte Funktion verändern.
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Von der Wahrheitstabelle zum Booleschen Ausdruck
Sum of Products (SOP)
Bei SOP werden alle Zeilen mit Ausgang 1 in einzelne AND-Terme übersetzt und anschließend mit OR verbunden. Für eine Zeile gilt:
- Eingang
0wird negiert. - Eingang
1bleibt unverändert. - Die Variablen einer Zeile werden mit AND verknüpft.
- Alle relevanten Zeilen werden mit OR verknüpft.
Für folgende Tabelle:
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
ergibt sich zunächst:
Y = (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B)Dieser Ausdruck lässt sich zu Y = A ∨ B vereinfachen.
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Fix the driver behind crashes, sound loss and screen glitchesFind Drivers →Repair Windows errors before they cause bigger problemsFix Now →Scan for outdated or missing drivers - takes under a minuteDriver Scan →Product of Sums (POS)
Bei POS betrachtet man die Zeilen mit Ausgang 0. Innerhalb eines Terms werden die Variablen mit OR verknüpft; die Terme werden anschließend mit AND verbunden. SOP und POS sind Standardmethoden zur Ableitung Boolescher Ausdrücke aus Wahrheitstabellen (National Instruments).
Wichtige Regeln der Booleschen Algebra
A ∧ 1 = A A ∨ 0 = A
A ∧ 0 = 0 A ∨ 1 = 1
A ∧ A = A A ∨ A = A
A ∧ ¬A = 0 A ∨ ¬A = 1
¬(¬A) = A
A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ ABesonders wichtig sind die De-Morgan-Regeln:
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬BBeim Verteilen der Negation ändern sich also sowohl die einzelnen Variablen als auch der Operator. Falsch wäre beispielsweise ¬(A ∧ B) = ¬A ∧ ¬B.
NAND- und NOR-Schaltungen
NAND und NOR sind funktional vollständig. Mit ausschließlich einem dieser Gattertypen kann theoretisch jede Boolesche Funktion aufgebaut werden. Das ist jedoch nicht automatisch die praktisch beste Lösung, da mehr Gatter, größere Verzögerungen, mehr Fläche oder höherer Energieverbrauch entstehen können.
Nur NAND
¬A = A NAND A
A ∧ B = (A NAND B) NAND (A NAND B)
A ∨ B = (A NAND A) NAND (B NAND B)Nur NOR
¬A = A NOR A
A ∨ B = (A NOR B) NOR (A NOR B)
A ∧ B = (A NOR A) NOR (B NOR B)Gatterdiagramme lesen
Schaltungen werden meist von links nach rechts gelesen: Eingänge führen zu Gattern, Zwischensignale führen zum Ausgang. Ein kleiner Kreis am Eingang oder Ausgang eines Symbols steht für eine Invertierung. ANSI- und IEC-Symbole können unterschiedlich aussehen; die Funktion sollte deshalb anhand der Kennzeichnung oder Wahrheitstabelle geprüft werden.
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Kombinatorische und sequentielle Logik
Bei kombinatorischer Logik hängt der Ausgang nur von den aktuellen Eingängen ab. Beispiele sind AND-/OR-Netzwerke, Addierer, Multiplexer, Decoder und Vergleicher.
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Bei sequentieller Logik hängt der Ausgang zusätzlich vom vorherigen Zustand ab. Dazu gehören Latches, Flip-Flops, Register und Zähler. Hier reichen einfache Wahrheitstabellen oft nicht aus; Zustandstabellen, Zustandsdiagramme und Timing-Diagramme können erforderlich sein. National Instruments ordnet Addierer, Encoder, Decoder, Multiplexer, Latches und Flip-Flops in den Kontext digitaler Elektronik ein (National Instruments).
Beispiele aus der Praxis
Sicherheitsfreigabe
Eine Maschine darf starten, wenn der Not-Aus nicht aktiv ist, die Abdeckung geschlossen ist und der Startknopf gedrückt wird:
START = ¬NOT_AUS ∧ ABDECKUNG ∧ KNOPFAlarm bei mindestens einem Sensor
ALARM = SENSOR_A ∨ SENSOR_BGenau ein Schalter aktiv
Y = A ⊕ BGleiche Eingangswerte
GLEICH = A XNOR BEin logischer Ausdruck ersetzt keine normgerechte Sicherheitssteuerung. In realen Anlagen müssen unter anderem Ausfallverhalten, widersprüchliche Sensoren, aktive-low-Signale, Entprellung, Verzögerungen und Stromausfall berücksichtigt werden.
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Logische Operatoren in der Programmierung
| Logik | Typische Operatoren |
|---|---|
| AND | && oder & |
| OR | || oder | |
| NOT | ! oder ~ |
| XOR | ^ |
Die genaue Syntax hängt von der Programmiersprache ab. Außerdem ist logisches AND nicht dasselbe wie bitweises AND. Beispiel:
1100
AND 1010
= 1000Häufige Fehler und Sonderfälle
- OR und XOR: OR bedeutet „mindestens einer“, XOR bei zwei Eingängen „genau einer“.
- Aktive-low-Signale: Namen wie
RESET_N,RESET#oder/RESETweisen oft darauf hin, dass die Funktion bei 0 aktiv ist. - Unbeschaltete Eingänge: Ein Eingang darf in realen Schaltungen nicht automatisch als 0 angenommen werden; er kann undefiniert oder „floating“ sein.
- X und Z:
Xsteht in vielen Simulatoren für unbekannt,Zfür hochohmig. - Laufzeiten: Reale Gatter besitzen Propagation Delay sowie Anstiegs- und Abfallzeiten.
- Glitches und Hazards: Unterschiedliche Signalwege können kurzzeitig falsche Impulse erzeugen, obwohl die statische Wahrheitstabelle korrekt ist.
Simulatoren zum Lernen und Prüfen
Logisim-evolution
Logisim-evolution ist kostenlos, Open Source und für Windows, macOS und Linux verfügbar. Es eignet sich für kombinatorische und sequentielle digitale Schaltungen, Chronogramme und größere Entwürfe. Laut offiziellem Repository wird Java 21 oder neuer benötigt.
Logicly
Logicly bietet eine besonders direkte Oberfläche, Standardgatter, Tri-State-Buffer, Wahrheitstabellenanalyse, CSV-Export und schrittweise Signalbeobachtung. Es eignet sich vor allem für Einsteiger und Unterricht. Die offizielle Kaufseite zeigte im Recherchezeitraum eine Einzellizenz für 59 US-Dollar; Preise und Lizenzbedingungen können sich ändern (Kaufseite).
NI Multisim
NI Multisim Desktop richtet sich an digitale, analoge und Leistungselektronik und bietet SPICE-Simulation. Für reine Gatterübungen ist es meist umfangreicher als nötig, für gemischte Schaltungen und institutionelle Labore aber geeigneter.
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Die offizielle Preisseite von Multisim Live weist auf eine Einstellung des Online-Dienstes am 15. September 2026 hin (Multisim-Live-Preise). Der Dienst sollte daher nicht als langfristig zukunftssichere Hauptempfehlung behandelt werden.
DigiSim
DigiSim ist eine browserbasierte Lernplattform mit Digital-Logic-Lab, Lektionen, Cloud-Speicherung und Funktionen zum Teilen und Exportieren von Schaltungen. Das ist praktisch für Lernende, die neben dem Simulator auch Kursmaterial nutzen möchten.
Quick Recap
Welche Lösung passt?
| Ziel | Naheliegende Wahl |
|---|---|
| Kostenlos und offline | Logisim-evolution |
| Sehr einfache Gatterexperimente | Logicly |
| Digitale und analoge Simulation | NI Multisim Desktop |
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| Professionelle FPGA-/HDL-Arbeit | Spezialisierte HDL- und FPGA-Werkzeuge |
Übungen mit Lösungen
- Erstelle die Tabelle für
Y = (A ∧ B) ∨ ¬C. Verwende Zwischenspalten fürA ∧ Bund¬C. - Erkenne die Funktion: Die Ausgänge
0, 1, 1, 0für00, 01, 10, 11entsprechen XOR. - Erkenne die Funktion: Die Ausgänge
1, 0, 0, 1entsprechen XNOR. - Prüfe De Morgan: Erstelle Tabellen für
¬(A ∧ B)und¬A ∨ ¬B. Beide Endspalten müssen identisch sein. - Nur NAND: Baue OR mit
(A NAND A) NAND (B NAND B). - Anwendung: Ein Lüfter läuft bei hoher Temperatur und geschlossener Tür oder bei Override:
LUEFTER = (TEMP_HOCH ∧ TUER_ZU) ∨ OVERRIDE.
Spickzettel
| Gatter | Ausdruck | Merksatz |
|---|---|---|
| NOT | ¬A |
kehrt den Wert um |
| AND | A ∧ B |
alle müssen 1 sein |
| OR | A ∨ B |
mindestens einer ist 1 |
| NAND | ¬(A ∧ B) |
nur bei allen 1 ist der Ausgang 0 |
| NOR | ¬(A ∨ B) |
nur bei allen 0 ist der Ausgang 1 |
| XOR | A ⊕ B |
bei zwei Eingängen genau einer ist 1 |
| XNOR | ¬(A ⊕ B) |
Eingänge sind gleich |
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